従業員が退職する際は必ず退職届を出してもらいましょう。
口頭でのやり取りはトラブルのもとになります。
退職を受理すると従業員から有給休暇を申請されることがよくあります。有給休暇は従業員が申し出た日に取得させなければなりません。退職するといった理由で申請を拒否できませんが、有給休暇によって業務の引継ぎに影響があると考えられる場合はこのかぎりではありませんが、あくまで従業員と十分に話し合うことが必要です。

会社は従業員退職後、雇用保険と社会保険の資格喪失手続をする必要があります。
労災保険は会社が加入する保険なので手続きは発生しません。雇用保険の資格喪失手続は従業員の退職後10日以内に公共職業安定所で行います。

手続時には、給与台帳や出勤簿またはタイムカード等の書類が必要です。社会保険の資格喪失手続は、従業員が退職してから5日以内に社会保険事務所で行います。
このとき健康保険証を社会保険事務所へ返却する必要がありますから、退職日には健康保険証を預かるようにしましょう。

有給休暇は6カ月以上継続勤務し、出勤すべき日の8割以上出勤した従業員には、労働基準法で定められた日数の有給休暇を与えなければなりません。
条件を満たした従業員が有給休暇の申請をした際にはこれを拒否することは出来ません。
ただし申請された有給休暇が「事業の正常な運営を妨げる場合」には、申請を拒否することができます。
申請を拒否した場合は申請された休暇日になるべく近い別の日に休暇を与えるなど配慮しましょう。